李邦河院士谈数学教育：重视概念而非技巧，揭示数学学习的本质

编者注：

院士李·班赫（Li Banghe）于2009年4月在中​​国数学学会的Xiamen学术年会上赢得了“ Hua Luogeng数学奖”。本文是LI院士在本次会议上发表的公开报告。在报告中，他谈到了一个重要的想法：数学扮演概念，而不是纯粹的技能。因为在中学和中学的数学概念较少，所以我们在一些困难的问题和技术上努力工作。这正是缺少根源的做法，所有数学教育者都值得深入思考。

非常感谢您为市政科学技术协会和我们的学校领导者提供了这个机会，可以在这里与同学见面并分享我对数学的看法。首先，我的问题是数字概念的发展。我想很多学生对这个问题不感兴趣。原因是，当大多数人在中学学习数学时，他们认为在数学中重要的不是概念，而是在解决问题中很重要。例如，您必须知道如何为几何问题绘制辅助线，并且数学竞赛中还有更多困难的问题。

那么数字的概念是什么？每个人都知道理性的数字，您可以看一眼大多数学生都不会记住这个定义。理性数字的定义是什么？几何学的概念不容易被重视，因为您可以知道哪些三角形，正方形，矩形和菱形是一眼的。中学数学可以轻松地给人一种幻想，概念并不重要，但是对于数学而言，技能至关重要。许多人上大学，即使他们去了数学系，也要上大学。

根据我上大学后在数学研究方面的经验，数学从根本上讲是关于构想的，而不是技能。

技能微不足道！实践使完美。数学竞赛中的人需要培训，他们都学习巧合。数学概念是人类智慧的结晶，这主要反映在概念的形成中。

现在，我们认为自然数量1、2、3、4是非常自然的，但是在人类发展史上了解“ 1”并不容易。在早期，人们不知道“ 1”和“ 1”是从大量“一头牛，绵羊”中抽象的。因此，从哲学的角度来看，“ 1”是惊人的，而“ 0”更加惊人。中国古代没有0。该数字由计算芯片表示。一个筷子是1，两个筷子为2，一个空位置为0。但是我不知道如何指示0.101。它最初是由印度数学家发明的。他们意识到0也是一个数字，使用圆形符号表示它是令人惊讶的。负数甚至更令人惊奇。西方认识到负数在14和5世纪左右很晚。

几何形状出现在欧洲数学中。欧几里得的几何形状在希腊时期。公元前2300年有几何形状，但没有负面数字的概念。如果当时不是一个理性的数字，那是不可接受的，被称为不公平。目前不存在负数的概念。但是我们的中国在公元前2300年有负数的概念。在汉朝西部王朝中，“算术的九章”具有解决线性方程式消除方法的完整步骤，并且出现了负数。

从理论上讲，中国古代的非理性数字的概念不是从理论上讲，但实际上，十进制数字之后的任何数字都可以。例如，将数字π计算为3.1416，并且知道可以无限计算它，从而导致无限接近的想法。限制的概念基本上是可用的，但概念尚未明确说明。非理性数字概念的明确建议是在达到演算周期时，对实数进行了完整的描述，这是由库奇序列的等效类别定义的，而实际数字理论目前完成了。

真正从事数学的人知道，弄清楚这并不容易。在进入高级数学后，拥有更多概念的人，但是那些不关注概念的人，如果他们学到了太多东西，他们会感到困惑。微积分的概念不多，但是学习高级代数和线性代数有很多概念。如果您不关注基本概念，则将无法用爆炸性的知识学习大学数学。您还记得微积分中差分值的最大值和中值吗？会使用吗？您还记得泰勒剩下的麦克劳林术语吗？

我们需要使用基本的事情来解决问题，而不是游戏技能。可以说，使用特定定理是最大的技能。

中学数学的概念很少，因此您只能提出困难的问题来查看谁具有更高的水平。在大学中，重要的是基本概念。只有通过彻底掌握这件事，您才能达到高水平。毕业后，代数数理论，代数拓扑和基本数学中的差异拓扑的概念更具爆炸性，而且很难理解。由于对象非常复杂，因此不可能努力工作。我希望那些喜欢数学的人必须注意基本概念，不仅记得，而且还要通过特定的例子深入理解它们。

那么什么概念？一个概念是一个抽象的东西，其中包含许多具体的东西。一个概念越抽象，它涵盖的具体内容越多，即扩展。例如，刚才提到的“ 1”示例可以覆盖苹果，梨和牛。自然数是数学中最简单的，这表明我们的起点非常抽象。

抽象和混凝土也相对普遍。 1、2、3、4等对于特定事物来说是抽象的，但是对于我们来说，没有什么比它更具体的了。理性数字比整数要复杂一些，而且非理性数字更为复杂。它们是无限的和非周期性的小数，但这对于我们进行数学的人来说是非常特定的。每次我们上楼梯时，我们以前是抽象的东西都会变得具体。客观世界非常复杂，有时您必须抽象，否则您无法描述它。

理性数字和非理性数字之后是多个数字。目前，它已经到达高斯时代，在牛顿和莱布尼兹之后的那个时代无法接受。首先，这个起初，没有人承认这是一个数字。当高斯绘制轴并使用向量来表示它时，这是更具体的，每个人都认为它是可以接受的。接受后，人们发现它有用，并且有很多值得研究的研究，因此有很多研究。

当计算固定积分（将实际数量扩展到复杂平面）时，在复杂变量函数理论中的保留定理可以计算无法在真实轴上求解的固定积分。对于那些热爱数学的人来说，这太神奇了，这都是归因于复杂数字的概念。后来，这将是一个四元组，即,,,,,,,

在中学时，人们可能会发现学习交流法律和分销法则是毫无意义的，因为这种感觉总是正确的。但这并不总是成立的，当乘法和交换达到四季度时，不再是正确的。然后，当涉及八个月的数字时，八个月的数字是由八个实数形成的数字，乘以八个月的定律和八个月组合的定律是不正确的。只有这样，您才知道数字的组合定律是多么宝贵，它是多么美好和可爱。

第四纪数量和八个月的数字非常具体。上大学时，您必须学习“抽象代数”。 “数字”很混乱。任何对象都可以是一个数字。这个数字足以具有添加或乘法。乘法满足组合定律，单位和反向元素，称为组。内部元素是否是数字，它们都被认为是相同的。整数还组成了一个加法组。因此，可以说组的要素与整数和理性数字相同，这使我们能够从更广泛的概念中了解什么数字。

在数学研究方面，其中有一对矛盾：一侧是数字，另一面是形状。形状是一个几何形象。最大的抽象无法逃脱数字和形状的两件事。任何可以执行代数操作的人，例如小组计算和矩阵乘法和添加，都可以将其视为数字。形状是一个几何形象，例如歧管，地球，球体，山脊，圆环和三角形。三角形的侧长为，角度是数字。因此，整个数学是将形状和数字转换为一块，相互转换和代表。

数学的基本矛盾是数字和形状之间的矛盾。随着抽象代数，我们的数字概念已大大扩展。对该小组感兴趣的人包括物理学家，化学家和数学家。物理学家不能没有小组。例如，在原子理方面，小组是物理学家的强大武器。这也是我们对其他学科的贡献。

比组更复杂的是环，域和代数，可以在抽象代数中学习。域，加法，减法，乘法和除法都是。最简单的域仅具有两个元素：0和1，但它具有加法，减法，乘法和除法。加法和乘法符合交换组合和分配法则。这些在中学数学中似乎不明显的事情使我们能够宣传，在晋升之后，这两个要素构成了一个领域。形成任何质数的域非常有用，,,,,,

同样，例如，克利福德代数，就像这样，;;，;，加法是每个位置的增加。现在，我们需要定义一个乘法，规则是。

根据该定律，定义了加法和乘法。这一补充满足了通勤法，也满足了联合法则。乘法不符合通勤法，而是满足组合法则。分销法是有效的。以这种方式定义的代数称为Clifford代数，对于任何一个，有一个。这件事与我们之前说的话有什么关系？

当= 1时，Clifford代数是我们所熟悉的，因此，目前，Clifford代数是一个复杂的域。然后，当Clifford代数是四元组体时。但是，当时它是八维的，与八个月的数字不同。它可以组合，但是八个月的数字不能合并。 Octanumer的特征是每个不等于零的元素都是可逆的，因此它是可划分的代数。

那么，是否只有一个，二，四，四和八世纪可划分的代数？还有其他维度吗？那些日子的数学家一定已经对其中的许多人进行了试验，但最终他们什么也没发现。这是因为人们的尝试不够，还是实际上不是吗？我们稍后再讨论。

在1960年代，引入了非标准分析。在非标准分析中，有非标准分析的真实和复杂领域。这些概念是数字概念中的重要发展。

当牛顿和莱布尼兹发明微积分时，他们就有了无限概念的想法。牛顿的流数量有时为0，有时不是，因此很难清楚地解释，而莱布尼兹（Leibniz）说，有一种称为无穷小数字的数字，它比任何数字都小。因此，发明家使用了无限和无穷大的概念，但是这个概念并不严格。因此，在以后的数学发展中，不再采用无穷小的概念，而是使用δ。但是物理学家并不严格使用δ，并且他们使用无限的近距离表示极限，并且经常使用无限和无穷大的概念，而两个概念相对而言。

当我们研究地球周围的月球时，当我们使用牛顿力学中的重力定律时，我们只是将某物像地球一样大。物理学家认为，只要问题可以解决，就可以了。但是数学家想从理论上完善它。到1960年代，那些建立非标准分析的人发现，牛顿·莱布尼兹（Newton Leibniz）的无限量和无限概念可能是严格的。由于没有发现严格的程序，因此不再采用这个概念。我认为这在数字概念的发展中也是一件非常重要的事情。非标准分析中的真实且复杂的领域尚未被所有人广泛接受，但我相信有一天，每个人都将接受它，就像复数数字的发展历史一样。

现在，我想谈谈为什么只有一个，二，四和第八名。我们想证明这一点。民间数学家中的某人对此进行了研究。我曾经遇到一个说他创造了三元的人。我告诉他这是不可能的。为什么这是？

尺寸欧几里得空间：其中，有内部产品，长度和乘法要求乘法符合单位元素。如果，则结果的映射是正交转换。因此，...彼此垂直。

如果它在三个维度上具有这样的乘法，则将有两个向量垂直于整个球体的垂直且不断变化。这可能吗？退后一步，在球体上的每个点放置一个非零的向量，以使其连续变化。是否可以？如果您不知道，可以猜到。

在进行数学时，您必须通过猜测前进，以便有动力。 （目前，听众中的某些人认为还可以）一些学生说这还可以，不是整个地球，而是赤道的一个圆圈还可以，但是可以将其扩展到整个领域吗？在赤道上还可以，但是当您跑到北极时，您会有问题和奇异性。因此，这个同学的方法是不可行的。这是可以的。例如，汽车可以转动赤道，汽车也可以具有45度的纬度线圈，但是当它运行到北极时，只有一个点，因此该点无法定义方向。现在让我告诉你，答案是不可能的。因为在任何时候，地球上总会有没有风的东西。

无处不在的矢量领域不可能连续改变，这是拓扑结论。球体的欧拉表示，即被分为三角形后的顶点和边缘的数量，是2，与球体分为三角形的方式无关，必须是2，它称为拓扑特性。相反，圆环是轮胎，将其分为三角形，并计算出欧拉的表示编号为0。刚才提到的圆周的欧拉表示数为0。

有一个定理：在歧管上携带这种非零连续矢量场的足够且必要的条件是其Euler表示为0。这显示了抽象数学的力量。这不是很深刻，我们通过定理证明这一点。如果可能的话，它将完成。如果不可能，它将无法与实验一起使用。不可能的证据通常是非常深刻的。我们发现向量字段与欧拉表示数字之间的关系，因为Euler表示号码不等于零，因此我们给出了这一不可能的证据。

为什么只有一个，二，四和第八？据我所知，这只能通过在1960年代之后使用定理来证明。四元组和8％不仅需要连续的矢量场，而且还需要线性无关的单位正交切线矢量场。也就是说，如果满足乘法，则必须在尺寸空间的球体上彼此垂直有一个单位矢量场，并且它正在不断变化。只有2、4、8，其他维度是不可能的。因此，这告诉我们的民间数学家，我们不必再忙了，这在数学上被证明是不可能的。还有三级分裂角度的问题。 Hua Luogeng曾说过这是不可能的。许多民间数学家认为这是因为他们很长一段时间无法得到它。实际上，不是。这已被证明。

让我们在下面查看他们的申请。实际数字无处不在，复数被广泛用于工程。例如，不可能在电力中进行交替电流，量子力学，量子场理论等。我相信，非标准分析将有一天被广泛使用，就像复数一样。长度1的四元素可用于表示所有旋转，但是2比一，而四元组也非常有用。有许多旋转，例如机器人制造过程中手臂的旋转。三维旋转组由3×3矩阵表示，这非常不便。在四季度表示后，参数很简单。 Clifford代数对于拓扑也很重要，并且在物理上也很有用。 Li Hongbo教授使用Clifford代数使用Wu先生的几何定理机器证明。

回答问题

如果您有任何疑问，让我首先在这里停留，让我们一起讨论它们。我仍然认为这个概念非常重要，您可以分享自己的想法。

问题答案：

1。我认为在生活中使用基本数学是足够的。高级数学的发展就像相对论。它在生活中的用途是什么，这是没有用的。对于普通人来说，在小学学习数学已经足够了。对于我们的大学生来说，情况有所不同。例如，相对论对原子物理学，加速器等的指导意义不能被低估。原子物理学，原子核，原子弹和核能与先进的数学知识密不可分。现在，经济学家非常重视数学，并且在一个国家的经济研究中使用的数学知识非常复杂。生活中的食物和住宿很简单，但是我们有更高的追求，例如在太空中的探索。我们追求幸福，身体健康和精神上的幸福。当我们看着上帝的六天堂时，每个人都会兴奋。我认为这对我们的身体健康非常有效。例如，我们做出了很大的发现，非常高兴。历史证明，任何科学发现都是有用的。只有了解客观世界，您才能控制世界。

2。您可以用严格的数学语言回去写出想法，您肯定会发现问题，但您也可以在写作过程中获得良好的锻炼。

3。数学美丽吗？例如，我刚才说的是，地球上的一个地方随时都很平静。这是我们的数学家证明的定理。与诗人的叹息相比，这是怎么回事？不是很漂亮吗？所以我说数学具有不变的美。只要主要前提是正确的，并且推理过程是正确的，那么结论必须是正确的。物理定律比物理更美丽。物理应用的范围经常被推翻，而数学的范围是从一开始就在哪种条件下确定的。

资料来源：数学公告，第48卷，2009年，第8期，原始标题是“从根本上：您玩的是概念！而不是技能。